2 écritures pour un même nombre

Posons a=0,99999999999999 ... ( à l'infini )
Remarque : un nombre à la decimale infinie celà a un sens : pensez à pi, racine de 2 ...
Prenons alors a le nombre qui a pour partie entière 0 et pour partie décimale une suite infinie de 9.

(1) par définition
a = 0,99999999999999...

(2) on multiplie par 10
10×a = 9,99999999999999...

(3) on sépare les parties entière et décimale du membre de droite
10×a = 9 + 0,99999999999999...

(4) par définition
10×a = 9 + a

(5) on retranche a aux deux membres
10×a - a = 9

(6) on utilise le fait que 10-1=9
9×a = 9

(7) on divise par 9 les deux membres
a = 1

Question : est-il vrai que 1 = 0,9999999999999... ?

Si oui, quelle autre démonstration peut-on faire ?

Oui c'est vrai !

Preuve par l'absurde. Supposons que 1 et 0,9999... sont différents.
Il existe donc un réel x >0 tel que 1 - x = 0,9999...
x étant non nul il existe un entier t>0 tel que la t-ième décimale de x > 0.
soit y = 10 (puissance)-t on a alors nécessairement 0<y <=x et donc

1-y >= 0,999999... (infini)

Or 1-y = 0,999999...9 (nombre fini de décimales) < 0,999999999.... (infini)

CONTRADICTION donc l'hypothèse était fausse. et 1 = 0,999999 (infini)

La reponse est : oui !! Il est vrai que 1 = 0,9999999999999... Ceci en était la démonstration rigoureuse.

Remarque : pour le passage de la ligne 3 à la 4, il faut savoir que l'infini-1 c'est encore l'infini.

Autre démonstration ( mais moins belle ) : 1 = 3×(1/3) = 3×0,333333... = 0,999999...